Systèmes (1) - Corrigé

Énoncé

Clara prépare la rentrée scolaire pour ses trois enfants.

Pour Anna, elle a acheté neuf cahiers, une trousse et cinq stylos pour un total de 48,60 €.
Pour Benjamin, qui a conservé sa trousse, elle a acheté onze cahiers et sept stylos pour un total de 45,20 €. 
Pour Tom, elle a acheté un seul cahier, deux trousses et 18 stylos pour un total de 52,75 €.

1. On note  \(x\)  le prix d'un cahier,  \(y\)  le prix d'une trousse et  \(z\)  le prix d'un stylo. Modéliser la situation de l'énoncé à l'aide d'un système. Tous ces prix sont exprimés en euros.
2. Traduire ce système sous forme matricielle et le résoudre à l'aide de la calculatrice pour retrouver le prix de chacun des objets.

Solution  

1. L'énoncé est modélisé par le système d'équations :
\(\begin{cases} 9x+y+5z=48,6\\ 11x+7z=45,2\\x+2y+18z=52,75 \end{cases}\)

2. Il s'agit d'un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues.
On peut donc l'écrire sous forme matricielle :  \(AX=B\)  avec  \(A=\begin{pmatrix} 9&1&5\\11&0&7\\1&2&18 \end{pmatrix}, X=\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\) et  \(B=\begin{pmatrix} 48,6\\45,2\\52,75 \end{pmatrix}\) .
Pour le résoudre, on vérifie avec la calculatrice que  \(A\)  est inversible et, toujours avec la calculatrice, on calcule son inverse.
\(\text{det}(A)=-207\neq0\)  donc  \(A\)  est inversible. 
\(X=A^{-1}B\)    permet de trouver  \(X=\begin{pmatrix} 3,25\\12,6\\1,35 \end{pmatrix}\) .
Le prix unitaire d'un cahier est de 3,25 €, le prix unitaire d'une trousse est de 12,60 € et le prix unitaire d'un style est de 1,35 €.